jueves, 12 de marzo de 2009

¿Uno es igual a dos?

¿Es uno igual a dos? Evidentemente todos sabemos que no. Pero, ¿y si lo demuestro matemáticamente? ¿Qué pensarías? Veamos dicha demostración:

Suponemos de partida que se cumple la premisa a es igual a b (podemos considerar que a = 1 y b = 1 aunque valdría suponer cualquier otro valor siempre que sea el mismo para las dos variables):

a = b

Multiplicamos cada miembro por a (evidentemente la igualdad se mantiene al multiplicar por el mismo valor en cada lado de la igualdad):

a2 = ab

Restamos a cada miembro b2 (evidentemente la igualdad se mantiene al restar por el mismo valor en cada lado de la igualdad):

a2 - b2 = ab - b2

En el miembro de la izquierda teniendo en cuenta que a2 - b2 =
= (a + b) (a - b) llegamos a:

(a + b) (a - b) = ab - b2

En el miembro de la derecha sacamos factor común de b y obtenemos:

(a + b) (a - b) = b (a - b)

Como en los dos lados de la igualdad tenemos multiplicando al factor (a - b), ambos pueden irse:

(a + b) (a - b) = b (a - b)

Y nos queda:

a + b = b

Teniendo en cuenta que tomamos como premisa que a es igual a b podemos sustituir las ocurrencias de la variable b por a:

a + a = a

O sea que:

2a = a

Como en los dos lados de la igualdad tenemos a la variable a, ambas pueden irse:

2a = a

Y nos queda:

2 = 1 !!!!!

¿Cómo es posible?

2 comentarios:

Anónimo dijo...

a=b=0

Al llegar a la expresión 2a=a, tenemos una igualdad imposible si a es distinta de 0. Entonces, o bien a=b=0 o bien la premisa era falsa y a no es igual a b por reducción al absurdo.

A Day Without Me dijo...

Bueno, al tomar la premisa a=b se tiene en cuenta que ésta se cumple para todos los valores de a (y por tanto de b) y no sólo para a=b=0.

Por tanto, al tener que cumplirse la premisa para todos los valores tienes razón al afirmar que la expresión 2a=a es incorrecta. Pero, ¿en qué momento del desarrollo matemático se produce este error? ¿Justo en la igualdad 2a=a o ya viene de una expresión anterior? Y lo más importante, ¿por qué se produce el error matemático? ¿Qué falla exactamente?

La premisa no puede ser falsa puesto que es totalmente factible considerar como cierto que a=b y que ambas variables pueden tomar cualquier valor (de cero a infinito) siempre y cuando, en efecto, el valor que toma la variable a sea el mismo que toma la variable b.