Suponemos de partida que se cumple la premisa a es igual a b (podemos considerar que a = 1 y b = 1 aunque valdría suponer cualquier otro valor siempre que sea el mismo para las dos variables):
a = b
Multiplicamos cada miembro por a (evidentemente la igualdad se mantiene al multiplicar por el mismo valor en cada lado de la igualdad):
a2 = ab
Restamos a cada miembro b2 (evidentemente la igualdad se mantiene al restar por el mismo valor en cada lado de la igualdad):
a2 - b2 = ab - b2
En el miembro de la izquierda teniendo en cuenta que a2 - b2 =
= (a + b) (a - b) llegamos a:
(a + b) (a - b) = ab - b2
En el miembro de la derecha sacamos factor común de b y obtenemos:
(a + b) (a - b) = b (a - b)
Como en los dos lados de la igualdad tenemos multiplicando al factor (a - b), ambos pueden irse:
(a + b)
Y nos queda:
a + b = b
Teniendo en cuenta que tomamos como premisa que a es igual a b podemos sustituir las ocurrencias de la variable b por a:
a + a = a
O sea que:
2a = a
Como en los dos lados de la igualdad tenemos a la variable a, ambas pueden irse:
2
Y nos queda:
2 = 1 !!!!!
¿Cómo es posible?
2 comentarios:
a=b=0
Al llegar a la expresión 2a=a, tenemos una igualdad imposible si a es distinta de 0. Entonces, o bien a=b=0 o bien la premisa era falsa y a no es igual a b por reducción al absurdo.
Bueno, al tomar la premisa a=b se tiene en cuenta que ésta se cumple para todos los valores de a (y por tanto de b) y no sólo para a=b=0.
Por tanto, al tener que cumplirse la premisa para todos los valores tienes razón al afirmar que la expresión 2a=a es incorrecta. Pero, ¿en qué momento del desarrollo matemático se produce este error? ¿Justo en la igualdad 2a=a o ya viene de una expresión anterior? Y lo más importante, ¿por qué se produce el error matemático? ¿Qué falla exactamente?
La premisa no puede ser falsa puesto que es totalmente factible considerar como cierto que a=b y que ambas variables pueden tomar cualquier valor (de cero a infinito) siempre y cuando, en efecto, el valor que toma la variable a sea el mismo que toma la variable b.
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