¿Uno es igual a dos?

¿Es uno igual a dos? Evidentemente todos sabemos que no. Pero, ¿y si lo demuestro matemáticamente? ¿Qué pensarías? Veamos dicha demostración:

Suponemos de partida que se cumple la premisa a es igual a b (podemos considerar que a = 1 y b = 1 aunque valdría suponer cualquier otro valor siempre que sea el mismo para las dos variables):

a = b

Multiplicamos cada miembro por a (evidentemente la igualdad se mantiene al multiplicar por el mismo valor en cada lado de la igualdad):

a² = ab

Restamos a cada miembro b² (evidentemente la igualdad se mantiene al restar por el mismo valor en cada lado de la igualdad):

a² - b² = ab - b²

En el miembro de la izquierda teniendo en cuenta que a² - b² =
= (a + b) (a - b) llegamos a:

(a + b) (a - b) = ab - b²

En el miembro de la derecha sacamos factor común de b y obtenemos:

(a + b) (a - b) = b (a - b)

Como en los dos lados de la igualdad tenemos multiplicando al factor (a - b), ambos pueden irse:

(a + b) (a - b) = b (a - b)

Y nos queda:

a + b = b

Teniendo en cuenta que tomamos como premisa que a es igual a b podemos sustituir las ocurrencias de la variable b por a:

a + a = a

O sea que:

2a = a

Como en los dos lados de la igualdad tenemos a la variable a, ambas pueden irse:

2a = a

Y nos queda:

2 = 1 !!!!!

¿Cómo es posible?